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ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:
>In einem Restaurant werden hintereinander fünf Gerichte gezeigt.
>Wenn einem ein Gericht gezeigt wird, weiß man noch nicht,
>welche Gerichte danach gezeigt werden werden. Man kann es sagen,
>wenn man das gezeigte Gericht essen will, aber kann eine
>Entscheidung später nicht mehr ändern. Man darf genau eines
>von den fünf Gerichen essen. Würde man die ersten vier Gerichte
>ablehnen, müßte man dann unweigerlich das fünfte essen.

  Nach dem ersten Vorzeigen eines Gerichts muß man also sagen, ob man
  es essen will oder nicht. Wenn man es essen will, darf man es essen,
  und es werden danach keine weiteren Gerichte mehr gezeigt. Wenn man
  es nicht essen will, dann wird dieses Gericht weggebracht und dann
  wird das nächste Gericht gezeigt - nur falls das /letzte/ (fünfte)
  Gericht gezeigt wird, hat man nicht die Möglichkeit, es abzulehnen.

Diedrich Ehlerding schrieb am Freitag, 27. Januar 2023 um 12:30:34 UTC+1:
> Stefan Ram meinte: 
> 
> > In einem Restaurant werden hintereinander fünf Gerichte gezeigt. 
> > Wenn einem ein Gericht gezeigt wird, weiß man noch nicht, 
> > welche Gerichte danach gezeigt werden werden. Man kann es sagen, 
> > wenn man das gezeigte Gericht essen will, aber kann eine 
> > Entscheidung später nicht mehr ändern. Man darf genau eines 
> > von den fünf Gerichen essen. Würde man die ersten vier Gerichte 
> > ablehnen, müßte man dann unweigerlich das fünfte essen. 
> > 
> > Wie kann man vorgehen, um die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, 
> > ein Gericht zu erhalten, das einem möglichst gut gefällt? 
> 
> Ich schlage folgende Strategie vor: 
> 
> Man schaut sich zwei Gerichte an und wählt dann das erste, das besser 
> aussieht als die beiden zuerst gesehenen - oder aber eben das letzte. 
> Ich gehe davon aus, dass es eine eindeutige Rangfolge gibt, also keine 
> zwei Gerichte gleich gut sind. Und ich gehe davon aus, dass die 
> Reihenfolge, in der die Gerichte gezeigt werden, zufällig ist. 
> 
> Ich schreibe im folgenden die "Güte" der Gerichte mit Ziffern 1,2,3,4,5 
> (größer ist besser) und bezeichne mit x eine der Ziffern 1,2,3, mit y 
> eine der Ziffern 1 und 2 und mit z eine der Zahlen 1,2,3,4. Es gibt 
> 5!=120 Permutationen von 1,2,3,4,5. Die Strategie erwischt das optimale 
> Gericht in folgenden Fällen (Reihenfolge, in denen die Gerichte gezeigt 
> werden): 
> 
> x45xx, x4x5x, x4xx5, 4xxx5, 4xx5x, 4x5xx (also immer dann wenn das 
> zweitbeste Gericht unter den ersten beiden auftaucht und das beste unter 
> den letzten). Ferner gewinnt man auch in den Fällen xx54x und xx5x4, 
> sowie in den Fällen 3yy54 und y3y54. Von xxx gibt es jeweils 6 
> Permutationen, von yy jeweils 2, also sind das insgesamt 6*8+2*2=52 
> Fälle, in denen man das beste Gericht erwischt. Demgegenüber verliert 
> man in folgenden Fällen: 5zzzz, z5zzz, xxx45, xx45x, xx4x5 und yy354. Es 
> gibt 24 Permutationen von zzzz, insgesamt sind das also 2*24+3*6+2=68 - 
> wir haben also alle 120 Fälle betrachtet. 
> 
> Die "Erfolgsquote", in der man das beste Gericht erwischt ist dabei also 
> 52/120 oder ca. 43,3% 
> 
> Betrachten wir noch alternative Straegien: Wenn wir die ersten drei 
> Gerichte vorbeiziehen lassen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das 
> beste schon unter den ersten drei ist, bereits 60%, damit können wir 
> also keinesfalls ein besseres Ergebnis als 40% erzielen, und das ist 
> bereits schlechter als die obige 43%-Strategie. 
> 
> Lassen wir nur ein Gericht vorbeiziehen und wählen dann das nächste, das 
> besser ist, gewinnen wir nur in den Fällen 15xxx, 25xxx, 35xxx 45xxx, 
> 4x5xx, 4xx5x, 4xxx5 (insgesamt 42 Fälle), ferner 21534, 21543, 31524, 
> 31542, 32514, 32541, 32154, 31254; insgesamt also 50 Gewinne von 120, 
> also nur ca 41,7 % - etwas schlechter als die obige strategie. 
> 
> Bleibt noch die Zufallsauswahl - die erwischt nur in 20% der Fälle das 
> Optimum 
> 
> 
> 
> 
> -- 
> gpg-Key (DSA 1024) D36AD663E6DB91A4 
> fingerprint = 2983 4D54 E00B 8483 B5B8 C7D1 D36A D663 E6DB 91A4 
> HTML-Mail wird ungeleſen entſorgt.

Stichwort: Sekretärinenproblem, 
https://www.spektrum.de/kolumne/das-sekretaerinnenproblem-wie-findet-man-die-passendste-bewerberin/2036923
Die Lösung ist 1/e-tel., also hier Ganzzahl(5/e)= 2.

Ich kannte das Problem als Rhein-Burgen-tour:
Man macht eine Rheinfahrt entlang N Burgen und möchte "die Schönste" fotografieren, hat aber nur noch ein Bild.
Die Lösung ist, man läßt N/e Burgen an sich vorbei ziehen und Fotografiert die nächst Schönste (oder die Letzte)!

Die dahmalige Herleitung

Diedrich Ehlerding schrieb am Freitag, 27. Januar 2023 um 12:30:34 UTC+1:
> Stefan Ram meinte: 
> 
> > In einem Restaurant werden hintereinander fünf Gerichte gezeigt. 
> > Wenn einem ein Gericht gezeigt wird, weiß man noch nicht, 
> > welche Gerichte danach gezeigt werden werden. Man kann es sagen, 
> > wenn man das gezeigte Gericht essen will, aber kann eine 
> > Entscheidung später nicht mehr ändern. Man darf genau eines 
> > von den fünf Gerichen essen. Würde man die ersten vier Gerichte 
> > ablehnen, müßte man dann unweigerlich das fünfte essen. 
> > 
> > Wie kann man vorgehen, um die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, 
> > ein Gericht zu erhalten, das einem möglichst gut gefällt? 

Das ist sehr bekannt. Wenn ich mich recht erinnere wird das als Übungsaufgabe in Wahrscheinlichkeits-/Maßtheorie I als Übungsaufgabe gestellt. 
n Angebote für ein gebrauchtes Auto oder ähnlich. Was ist die beste Strategie?

Außerdem soll das Verhalten bei n gegen unendlich betrachtet werden.

Rainer

Diedrich Ehlerding schrieb am Freitag, 27. Januar 2023 um 12:30:34 UTC+1:
> Stefan Ram meinte: 
> 
> > In einem Restaurant werden hintereinander fünf Gerichte gezeigt. 
> > Wenn einem ein Gericht gezeigt wird, weiß man noch nicht, 
> > welche Gerichte danach gezeigt werden werden. Man kann es sagen, 
> > wenn man das gezeigte Gericht essen will, aber kann eine 
> > Entscheidung später nicht mehr ändern. Man darf genau eines 
> > von den fünf Gerichen essen. Würde man die ersten vier Gerichte 
> > ablehnen, müßte man dann unweigerlich das fünfte essen. 
> > 
> > Wie kann man vorgehen, um die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, 
> > ein Gericht zu erhalten, das einem möglichst gut gefällt? 
> 
> Ich schlage folgende Strategie vor: 
> 
> Man schaut sich zwei Gerichte an und wählt dann das erste, das besser 
> aussieht als die beiden zuerst gesehenen - oder aber eben das letzte. 
> Ich gehe davon aus, dass es eine eindeutige Rangfolge gibt, also keine 
> zwei Gerichte gleich gut sind. Und ich gehe davon aus, dass die 
> Reihenfolge, in der die Gerichte gezeigt werden, zufällig ist. 
> 
> Ich schreibe im folgenden die "Güte" der Gerichte mit Ziffern 1,2,3,4,5 
> (größer ist besser) und bezeichne mit x eine der Ziffern 1,2,3, mit y 
> eine der Ziffern 1 und 2 und mit z eine der Zahlen 1,2,3,4. Es gibt 
> 5!=120 Permutationen von 1,2,3,4,5. Die Strategie erwischt das optimale 
> Gericht in folgenden Fällen (Reihenfolge, in denen die Gerichte gezeigt 
> werden): 
> 
> x45xx, x4x5x, x4xx5, 4xxx5, 4xx5x, 4x5xx (also immer dann wenn das 
> zweitbeste Gericht unter den ersten beiden auftaucht und das beste unter 
> den letzten). Ferner gewinnt man auch in den Fällen xx54x und xx5x4, 
> sowie in den Fällen 3yy54 und y3y54. Von xxx gibt es jeweils 6 
> Permutationen, von yy jeweils 2, also sind das insgesamt 6*8+2*2=52 
> Fälle, in denen man das beste Gericht erwischt. Demgegenüber verliert 
> man in folgenden Fällen: 5zzzz, z5zzz, xxx45, xx45x, xx4x5 und yy354. Es 
> gibt 24 Permutationen von zzzz, insgesamt sind das also 2*24+3*6+2=68 - 
> wir haben also alle 120 Fälle betrachtet. 
> 
> Die "Erfolgsquote", in der man das beste Gericht erwischt ist dabei also 
> 52/120 oder ca. 43,3% 
> 
> Betrachten wir noch alternative Straegien: Wenn wir die ersten drei 
> Gerichte vorbeiziehen lassen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das 
> beste schon unter den ersten drei ist, bereits 60%, damit können wir 
> also keinesfalls ein besseres Ergebnis als 40% erzielen, und das ist 
> bereits schlechter als die obige 43%-Strategie. 
> 
> Lassen wir nur ein Gericht vorbeiziehen und wählen dann das nächste, das 
> besser ist, gewinnen wir nur in den Fällen 15xxx, 25xxx, 35xxx 45xxx, 
> 4x5xx, 4xx5x, 4xxx5 (insgesamt 42 Fälle), ferner 21534, 21543, 31524, 
> 31542, 32514, 32541, 32154, 31254; insgesamt also 50 Gewinne von 120, 
> also nur ca 41,7 % - etwas schlechter als die obige strategie. 
> 
> Bleibt noch die Zufallsauswahl - die erwischt nur in 20% der Fälle das 
> Optimum 
> 
> 
> 
> 
> -- 
> gpg-Key (DSA 1024) D36AD663E6DB91A4 
> fingerprint = 2983 4D54 E00B 8483 B5B8 C7D1 D36A D663 E6DB 91A4 
> HTML-Mail wird ungeleſen entſorgt.

Stichwort: Sekretärinenproblem,
https://www.spektrum.de/kolumne/das-sekretaerinnenproblem-wie-findet-man-die-passendste-bewerberin/2036923
Die Lösung ist 1/e-tel., also hier Ganzzahl(5/e)= 2.

Ich kannte das Problem als Rhein-Burgen-tour:
Man macht eine Rheinfahrt entlang N Burgen und möchte "die Schönste" fotografieren, hat aber nur noch ein Bild.
Die Lösung ist, man läßt N/e Burgen an sich vorbei ziehen und Fotografiert die nächst Schönste (oder die Letzte)!

Die damalige Herleitung erinnere ich nicht mehr, sie ähnelte aber der aus dem Spektrum Artikel

VG SiggiN.

Stefan Ram meinte:

> In einem Restaurant werden hintereinander fünf Gerichte gezeigt.
> Wenn einem ein Gericht gezeigt wird, weiß man noch nicht,
> welche Gerichte danach gezeigt werden werden. Man kann es sagen,
> wenn man das gezeigte Gericht essen will, aber kann eine
> Entscheidung später nicht mehr ändern. Man darf genau eines
> von den fünf Gerichen essen. Würde man die ersten vier Gerichte
> ablehnen, müßte man dann unweigerlich das fünfte essen.
>
> Wie kann man vorgehen, um die Wahrscheinlichkeit zu maximieren,
> ein Gericht zu erhalten, das einem möglichst gut gefällt?

Ich schlage folgende Strategie vor:

Man schaut sich zwei Gerichte an und wählt dann das erste, das besser
aussieht als die beiden zuerst gesehenen  - oder aber eben das letzte.
Ich gehe davon aus, dass es eine eindeutige Rangfolge gibt, also keine
zwei Gerichte gleich gut sind. Und ich gehe davon aus, dass die
Reihenfolge, in der die Gerichte gezeigt werden, zufällig ist.

Ich schreibe im folgenden die "Güte" der Gerichte mit Ziffern 1,2,3,4,5
(größer ist besser) und bezeichne mit x eine der Ziffern 1,2,3, mit y
eine der Ziffern 1 und 2 und mit z eine der Zahlen 1,2,3,4. Es gibt
5!0 Permutationen von 1,2,3,4,5. Die Strategie erwischt das optimale
Gericht in folgenden Fällen (Reihenfolge, in denen die Gerichte gezeigt
werden):

x45xx, x4x5x, x4xx5, 4xxx5, 4xx5x, 4x5xx (also immer dann wenn das
zweitbeste Gericht unter den ersten beiden auftaucht und das beste unter
den letzten). Ferner gewinnt man auch in den Fällen xx54x und xx5x4,
sowie in den Fällen 3yy54 und y3y54. Von xxx gibt es jeweils 6
Permutationen, von yy jeweils 2, also sind das insgesamt 6*8+2*2R
Fälle, in denen man das beste Gericht erwischt. Demgegenüber verliert
man in folgenden Fällen: 5zzzz, z5zzz, xxx45, xx45x, xx4x5 und yy354. Es
gibt 24 Permutationen von zzzz, insgesamt sind das also 2*24+3*6+2h -
wir haben also alle 120 Fälle betrachtet.

Die "Erfolgsquote", in der man das beste Gericht erwischt ist dabei also
52/120 oder ca. 43,3%

Betrachten wir noch alternative Straegien: Wenn wir die ersten drei
Gerichte vorbeiziehen lassen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das
beste schon unter den ersten drei ist, bereits 60%, damit können wir
also keinesfalls ein besseres Ergebnis als 40% erzielen, und das ist
bereits schlechter als die obige 43%-Strategie.

Lassen wir nur ein Gericht vorbeiziehen und wählen dann das nächste, das
besser ist, gewinnen wir nur in den Fällen 15xxx, 25xxx, 35xxx  45xxx,
4x5xx, 4xx5x, 4xxx5 (insgesamt 42 Fälle), ferner 21534, 21543, 31524,
31542, 32514, 32541, 32154, 31254; insgesamt also 50 Gewinne von 120,
also nur ca 41,7 % - etwas schlechter als die obige strategie.

Bleibt noch die Zufallsauswahl - die erwischt nur in 20% der Fälle das
Optimum




--
 gpg-Key (DSA 1024) D36AD663E6DB91A4
 fingerprint = 2983 4D54 E00B 8483 B5B8  C7D1 D36A D663 E6DB 91A4
 HTML-Mail wird ungeleſen entſorgt.

ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:
>In einem Restaurant werden hintereinander fünf Gerichte gezeigt.
>Wenn einem ein Gericht gezeigt wird, weiß man noch nicht,
>welche Gerichte danach gezeigt werden werden. Man kann es sagen,
>wenn man das gezeigte Gericht essen will, aber kann eine
>Entscheidung später nicht mehr ändern. Man darf genau eines
>von den fünf Gerichen essen. Würde man die ersten vier Gerichte
>ablehnen, müßte man dann unweigerlich das fünfte essen.

  Mir kam die Aufgabe auch dunkel bekannt vor. Ich habe sie trotzdem
  hier gepostet, weil ich in einem Buch einen für mich neuartigen
  Lösungsweg sah, über den ich hier noch etwas schreiben wollte.

  Und zwar wurde in einem Buch die "dynamische Programmierung"
  erläutert. Was das genau ist, ist mir nicht klar,
  aber grob gesagt, werden alle Zustände eines System bewertet
  und dann mit dem Wert des Endzustands begonnen, wobei man sich
  dann weiter zu früheren Zeitpunkten bewegt. Damit kann man dann
  zum Beispiel die Zeit zum Finden eines optimales Absatzumbruchs
  von exponentiell (systematisches Durchprobieren aller möglichen
  Umbrucharten) in der Länge des Absatzes auf quadratisch reduzieren.

  Ich habe den vorigen Absatz, wie alle Absätze in diesem Posting,
  mit einem Programm umbrochen, das ich danach schrieb, aber
  die Lücke am Ende der zweiten Zeile ist noch ein Fehler, der
  vermutlich mit meiner Bewertungsfunktion zusammenhängt. Ich
  bin gerade dabei, dies zu debuggen. Es könnte sein, daß die
  Belohnung für das Trennen nach einem Komma zu hoch ist.

  Die dynamische Programmierung wird in jenem Buch an verschiedenen
  Beispielen erklärt, darunter diese Gerichtsaufgabe.
  Hier die Lösung mit dynamischer Programmierung in meinen Worten:

  Das letzte Gericht könnte alles Mögliche sein,
  so daß der Erwartungswert der Bewertungsfunktion
  auf der Skala von 0 bis 1 gleich 0,5 ist.

  Daher würde man das vorletzte Gericht wählen, wenn seine Bewertung
  besser als 0,5 ist, denn dann wäre es besser als die Alternative.

  Nimmt man an, daß das vorletzte Gericht alles Mögliche
  sein kann, so ist es in der Hälfte der Fälle besser
  als 0,5. Dann wählt man es, und da es dann irgendwo zwischen
  0,5 und 1 liegt, ist der Erwartungswert dann 0,75. Sonst
  nimmt man das letzte Gericht mit einem Erwartungswert von 0,5.
  Insgesamt ist der Erwartungswert bei dieser Strategie und zwei
  Gerichten dann also der Mittelwert von 0,75 und 0,5, also 0,625.

  Das vorvorletzte Gericht müßte also nun besser also 0,625 sein,
  damit man es wählt.

  Und so weiter ...

Diedrich Ehlerding <diedrich.ehlerding@t-online.de> writes:
>Man schaut sich zwei Gerichte an und wählt dann das erste, das besser
>aussieht als die beiden zuerst gesehenen  - oder aber eben das letzte.

  (Dieses Posting enthält Zeilen mit mehr als 72 Zeichen.
  Ich bin mir der Usenet-Konvention, derzufolge solche Zeilen
  zu vermeiden sind, bewußt und habe mich erst nach schmerzvollen
  Abwägungen entschlossen, hier ausnahmsweise gegen sie zu verstoßen.)

  (Als Programmiersprache wird in diesem Posting Python 3.8 verwendet.)

  Das könnte man ja einmal simulieren und die beiden Strategien
  vergleichen!

  Zunächst muß ich die Koeffizienten nach der Dynamische-
  Programmierung-Strategie noch vollständig berechnen.

for Position in range( 4, -1, -1 ):
    if Position == 4: # letztes Gericht
        Erwartungswert = 0.5
    else:
        Erwartungswert_bei_Wahl =( 1 + Erwartungswert )/ 2
        Wahrscheinlichkeit_der_Wahl =( 1 - Erwartungswert )
        Erwartungswert = Erwartungswert_bei_Wahl * Wahrscheinlichkeit_der_Wahl + Erwartungswert *( 1 - Wahrscheinlichkeit_der_Wahl )
    print( Position, Erwartungswert )

  Ausgabe

4 0.5
3 0.625
2 0.6953125
1 0.741729736328125
0 0.7750815008766949

  Man würde das Gericht 0 demzufolge wählen, wenn es
  besser als 0,775... ist, falls ich richtig programmiert
  habe. In Deiner Strategie würde man es nie wählen.

  Das folgende Programm scheint bessere Ergebnisse bei der
  Vorgehensweise nach dynamischer Programmierung zu zeigen (Faktor
  1,21), jedoch habe ich dieses Programm gerade eben geschrieben,
  und neue Programme enthalten normalerweise immer noch irgendwelche
  Fehler, so daß dieses Ergebnis nur als vorläufig zu betrachten ist.

import itertools
import random

def Erzeugung_von_fuenf_Zufallszahlen():
    global Zahlen
    Zahlen = []
    for _ in range( 5 ):
        Zahlen.append( random.random() )

def klassische_Strategie():
    first_two = []
    for i in range( 5 ):
        Zahl = Zahlen[ i ]
        if i in[ 0, 1 ]:
            first_two.append( Zahl )
        elif i in[ 2, 3 ]:
            if Zahl > max( first_two ):
                return i
        else: return i

def dynamische_Strategie():
    threshold =[ None ]* 5
    threshold[ 0 ]= 0.7750815008766949
    threshold[ 1 ]= 0.741729736328125
    threshold[ 2 ]= 0.6953125
    threshold[ 3 ]= 0.625
    threshold[ 4 ]= 0.5
    for i in range( 5 ):
        Zahl = Zahlen[ i ]
        if Zahl > threshold[ i ]: return i
        if i == 4: return i

def Vergleiche_beide_Strategien():
    K = 0
    D = 0
    for i in itertools.count():
        Erzeugung_von_fuenf_Zufallszahlen()
        k = Zahlen[ klassische_Strategie() ]
        d = Zahlen[ dynamische_Strategie() ]
        K += k
        D += d
        if not( i % 100000 ):
            print( f'{D/K=:.5}' )

Vergleiche_beide_Strategien()

  Ausgabe:

D/K=1.6953
D/K=1.2145
D/K=1.2131
D/K=1.2146
D/K=1.2149
D/K=1.2148
D/K=1.2145
D/K=1.2147
D/K=1.2144
D/K=1.2144
D/K=1.2145
D/K=1.2144
D/K=1.2145
D/K=1.2147
D/K=1.2146
...

ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:
>Und zwar wurde in einem Buch die "dynamische Programmierung"
>erläutert. Was das genau ist, ist mir nicht klar,
>aber grob gesagt, werden alle Zustände eines System bewertet
>und dann mit dem Wert des Endzustands begonnen, wobei man sich
>dann weiter zu früheren Zeitpunkten bewegt. Damit kann man dann
>zum Beispiel die Zeit zum Finden eines optimales Absatzumbruchs
>von exponentiell (systematisches Durchprobieren aller möglichen
>Umbrucharten) in der Länge des Absatzes auf quadratisch reduzieren.

  Inzwischen sieht dieser Absatzt nun etwas besser aus, aber ich muß
  noch mehr Umbrüche sehen, um erkennen zu können, ob der Algorithmus
  jetzt insgesamt besser ist (oder nur im speziellen Fall jenes
  Absatzes). Das neue Ergebnis ist jetzt:

|Und zwar wurde in einem Buch die "dynamische Programmierung"
|erläutert. Was das genau ist, ist mir nicht klar, aber grob
|gesagt, werden alle Zustände eines System bewertet und dann mit
|dem Wert des Endzustands begonnen, wobei man sich dann weiter zu
|früheren Zeitpunkten bewegt. Damit kann man dann zum Beispiel die
|Zeit zum Finden eines optimales Absatzumbruchs von exponentiell
|(systematisches Durchprobieren aller möglichen Umbrucharten)
|in der Länge des Absatzes auf quadratisch reduzieren.

  .

ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:

> ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:
>>In einem Restaurant werden hintereinander fünf Gerichte gezeigt.
>>Wenn einem ein Gericht gezeigt wird, weiß man noch nicht,
>>welche Gerichte danach gezeigt werden werden. Man kann es sagen,
>>wenn man das gezeigte Gericht essen will, aber kann eine
>>Entscheidung später nicht mehr ändern. Man darf genau eines
>>von den fünf Gerichen essen. Würde man die ersten vier Gerichte
>>ablehnen, müßte man dann unweigerlich das fünfte essen.
>
>   Das letzte Gericht könnte alles Mögliche sein,
>   so daß der Erwartungswert der Bewertungsfunktion
>   auf der Skala von 0 bis 1 gleich 0,5 ist.

Hmm, ich lese in der Aufgabenstellung nicht, daß die Qualitäten
normalverteilt sind (oder zumindest das gesamte Spektrum abbilden).

Wenn die 5 Gerichte aber alle eher mau sind (Mensa? ;-), nehme ich immer
das letzte, z.B.:

0.2 0.4 0.5 0.3 0.1

Dietrichs Ansatz ist davon unabhängig (und hätte im speziellen Beispiel
das beste Gericht erwischt :-).

Nur so als Gedanke.

Viele Grüße, Thomas
--
Adresse gilt nur kurzzeitig!

Thomas Dorner <drd230130.dorner@spamgourmet.com> writes:
>>Das letzte Gericht könnte alles Mögliche sein,
>>so daß der Erwartungswert der Bewertungsfunktion
>>auf der Skala von 0 bis 1 gleich 0,5 ist.
>Hmm, ich lese in der Aufgabenstellung nicht, daß die Qualitäten
>normalverteilt sind (oder zumindest das gesamte Spektrum abbilden).

  Es wurde keine Normalverteilung, sondern /Gleichverteilung/
  angenommen. Diese folgt aus dem Prinzip der maximalen Entropie:

|Entropy maximization with no testable information respects the
|universal "constraint" that the sum of the probabilities is one.
|Under this constraint, the maximum-entropy discrete probability
|distribution is the uniform distribution[.]
Wikipedia.

  Das heißt: Gerade, wenn man die Verteilung /nicht/ kennt,
  was einschließt, daß man nicht weiß, ob das gesamte Spektrum
  abgebildet wird, ist die Gleichverteilung die Annahme mit dem
  geringsten Vorurteil.

ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:
>Das heißt: Gerade, wenn man die Verteilung /nicht/ kennt,
>was einschließt, daß man nicht weiß, ob das gesamte Spektrum
>abgebildet wird, ist die Gleichverteilung die Annahme mit dem
>geringsten Vorurteil.

  Meine Simulation ergibt aber einen Vorteil für die klassische
  Strategie, wenn die Gerichte den gesamten Bereich von 0 bis
  1 /nicht/ ausnutzen. Der Quotient liegt dann zugunsten der
  klassischen Strategie zwischen zirka 0,80 und 0,99.

  Wenn man vorher keine weiteren Informationen über die Verteilung
  hat, dann ist die Frage, welche Annahme man zugrundelegen soll.

  Ein Koch könnte ja nicht einmal, wenn er es wollte, seine
  Gerichte auf einen bestimmten Bereich einschränken, da er
  die Bewertungsfunktion des Kunden nicht kennt.

ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:
>Meine Simulation ergibt aber einen Vorteil für die klassische
>Strategie, wenn die Gerichte den gesamten Bereich von 0 bis
>1 /nicht/ ausnutzen. Der Quotient liegt dann zugunsten der
>klassischen Strategie zwischen zirka 0,80 und 0,99.

  Wenn ich die Verfahren mit der Hilfes eines Zufallszahlengenerators
  ZA vergleiche, der den ganzen Wertebereich von 0 bis 1 ausnutzt,
  so erhalte ich das Ergebnis EA.

  Wenn ich das Verfahren mit der Hilfe eines Zufallszahlengenerators
  ZB vergleiche, der nur Werte aus dem Bereich von 0 bis 0,5 liefert
  so erhalte ich das andere Ergebnis EB.

  Jetzt ist natürlich die Frage: Welcher Zufallszahlengenerator
  ist denn nun "der richtige" für den Vergleich? Und mit welcher
  Begründung?

  Das Prinzip der maximalen Entropie sagt, daß bei vollkommener
  Unkenntnis, Gleichverteilung die Annahme mit dem kleinsten
  Vorurteil ist. Das wäre ZA.

  Hierzu ein Beispiel: Es trifft eine Nachricht von Außerirdischen
  ein, die per Funk schon Deutsch gelernt haben. Sie sagen, daß sie
  eine Zahl aus der Menge {0, 1} bestimmt haben, und wir raten sollen
  welche. Da wir mit diesen Außerirdischen noch keine Erfahrungen
  haben, haben wir noch keine Statistik der Zahlenwerte, die sie in
  der Vergangenheit schon bestimmt haben. Ein Anbieter von Wetten
  bittet nun seinen Hausmathematiker die Wahrscheinlichkeit für "0"
  zu bestimmen. Nach dem Prinzip der maximalen Entropie wäre sie 0,5.

Thomas Dorner <drd230131.dorner@spamgourmet.com> writes:
>Es gibt mehrere richtige Lösungen, und ohne weitere Einschränkungen ist
>keine "richtiger" als die andere.
...
>Hier ist alles eindeutig vorgegeben, also ist auch das Ergebnis eindeutig.

  Wenn wir nicht wissen, welche Zahl die Außerirdischen gewählt
  haben, kann man wohl kaum von einer eindeutigen Vorgabe oder
  einem eindeutigen Ergebnis sprechen.

  Bei Wahrscheinlichkeit geht es ja gerade darum, Aussagen zu machen,
  wenn /nicht/ alles eindeutig vorgegeben ist, also wenn Informationen
  fehlen.

  Wenn nicht bekannt ist, wie der Koch arbeitet, möchte man eine
  möglichst neutrale Annahme über den Koch machen. Dies ist für
  mich leider schwieriger als es bei einer unbekannten Münzen
  mit zwei Seiten wäre, wo die neutrale Annahme offensichtlich
  die Gleichwahrscheinlichkeit beider Seiten ist. Aber das ist
  es, was man prinzipiell versucht. Ein Koch ist komplizierter
  als eine Münze.

  Aber nach der Aufgabenstellung ist der Koch ein System, das
  Gerichte liefert, und wir wissen aus der Aufgabenstellung
  nur, daß die Qualität der Gerichte zwischen 0 und 1 liegt.
  Was ist dann die neutrale Annahme über die Verteilung der
  Gerichte? Wenn ich das Prinzip der maximalen Entropie
  richtig verstehe, sollte dies die Gleichverteilung sein;
  bei einem Kontinuum wäre dies wohl eine konstante Dichte
  über den gesamten Wertebereich.

ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:

>   Jetzt ist natürlich die Frage: Welcher Zufallszahlengenerator
>   ist denn nun "der richtige" für den Vergleich? Und mit welcher
>   Begründung?
>
>   Das Prinzip der maximalen Entropie sagt, daß bei vollkommener
>   Unkenntnis, Gleichverteilung die Annahme mit dem kleinsten
>   Vorurteil ist. Das wäre ZA.

Gleichverteilung sagt aber noch nichts darüber aus, wie der
zugrundeliegende Bereich zustande kommt, hier also, wie wurde der Koch
ausgewählt.

Das erinnert mich ein bischen an eine schöne Aufgabe in einem Buch von
Martin Gardner, die ein Problem von Joseph Bertrand beschrieb:
https://de.wikipedia.org/wiki/Bertrand-Paradoxon_(Wahrscheinlichkeitstheorie)

Es gibt mehrere richtige Lösungen, und ohne weitere Einschränkungen ist
keine "richtiger" als die andere.

>   Hierzu ein Beispiel: Es trifft eine Nachricht von Außerirdischen
>   ein, die per Funk schon Deutsch gelernt haben. Sie sagen, daß sie
>   eine Zahl aus der Menge {0, 1} bestimmt haben, und wir raten sollen
>   welche. Da wir mit diesen Außerirdischen noch keine Erfahrungen
>   haben, haben wir noch keine Statistik der Zahlenwerte, die sie in
>   der Vergangenheit schon bestimmt haben. Ein Anbieter von Wetten
>   bittet nun seinen Hausmathematiker die Wahrscheinlichkeit für "0"
>   zu bestimmen. Nach dem Prinzip der maximalen Entropie wäre sie 0,5.

Hier ist alles eindeutig vorgegeben, also ist auch das Ergebnis eindeutig.

Viele Grüße, Thomas
--
Adresse gilt nur kurzzeitig!

ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:
>Aber nach der Aufgabenstellung ist der Koch ein System, das
>Gerichte liefert, und wir wissen aus der Aufgabenstellung
>nur, daß die Qualität der Gerichte zwischen 0 und 1 liegt.

  In der Wikipedia wird noch darauf hingewiesen, daß es einen
  Unterschied zwischen dem Ziel gibt, das beste Gericht zu
  finden, und dem Ziel, den Erwartungswert der Qualität der
  Güte des Gerichts zu maximieren. Meine Simulation findet,
  wenn es daraum geht, das beste Gericht zu finden, jedoch
  wieder ähnliche Ergebnisse.

  Die genaue Formulierung der Aufgabenstellung ist wichtig.
  Ich würde beispielsweise unterscheiden zwischen:

Ein Koch liefert Gerichte mit einer Qualität zwischen 0 und 1.

  und

Ein Koch liefert Gerichte mit einer Qualität zwischen A und
B, wobei 0 <= A < 1, 0 <= B < 1 und A < B, aber die genauen
Werte von A und B nicht bekannt sind.

  . Aber es ist nicht klar, wie der Koch es erreichen will,
  daß die Bewertung eines Gerichts durch seinen Kunden nie
  kleiner als A oder größer als B wird.

  Da es aber auf die genaue Formulierung ankommt, hier das
  wörtliche Zitat aus dem Buch:

|The surprise menu in a new restaurant works as follows. You will
|be shown 5 dishes in sequence, and you can pick one that you like,
|but if you turn one down, you can not reconsider. Let us say that
|each dish scores between 0 and 1 on your attractiveness scale.
|How do you maximize your choice of dish?

  .

ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:

>   Aber nach der Aufgabenstellung ist der Koch ein System, das
>   Gerichte liefert, und wir wissen aus der Aufgabenstellung
>   nur, daß die Qualität der Gerichte zwischen 0 und 1 liegt.

[Korinthen]
Das steht nicht in der Aufgabenstellung, sondern in dem vorgestellten
Lösungsansatz.
[/Korinthen]
;-)

vgt
--
Adresse gilt nur kurzzeitig!